Bordism 类别与模空间的定向

在几何学中，定义 enumerative 不变量常需要对模空间进行定向。本专题书发展了一种新的 bordism 论方法论来论述模空间的定向问题。设 $X$ 为具有几何结构的流形，$\cal M$ 为 $X$ 上几何对象的模空间。我们的理论旨在回答以下问题：(i) 我们能否为所有 $X,\cal M$ 证明 $\cal M$ 可定向？(ii) 若不能，能否给出 $X$ 的可计算的充分条件以保证 $\cal M$ 可定向？(iii) 能否指定 $X$ 的额外数据以构造 $\cal M$ 的规范定向？我们定义“bordism 类别”，例如 $Bord_n^{Spin}(BG)$，其对象为 $(X,P)$，其中 $X$ 为紧致 spin $n$ 维流形，$P\to X$ 为 $G$ 的主 $G$ 包（$G$ 为 Lie 群）。Bordism 类别可通过计算 classifying 空间的 bordism 群来理解。定向问题编码于从 bordism 类别到 ${\mathbb Z}_2$-torsors 的函子中。我们将理论应用于研究 $G_2$-instanton 与 $G_2$ 流形中关联 3-流形的可定向性与规范定向、Spin(7)-instanton 与 Spin(7) 流形中 Cayley 4-流形的可定向性与规范定向，以及 Calabi-Yau 4-流形上一致射模空间的可定向性与规范定向。后者是定义 Calabi-Yau 4-流形 Donaldson-Thomas 类不变量所必需的。在许多情况下，我们证明了 $\cal M$ 的可定向性，并展示了使用“flag 结构”可定义规范定向。