配边范畴与规范理论模空间的定向

本文是发展枚举几何中定向的配边理论观点的系列论文的第二篇。第一篇论文为 arXiv:2312.06818。本文聚焦于那些可以纯粹使用代数拓扑中的形式论证与计算来建立的规范理论应用。我们证明，对于紧致 spin $n$-流形上所有主 $G$-丛 $P\to X$，规范理论中联络模空间的可定向性，等价于某个特定态射在 $G$ 的分类空间的自由环路空间的 $n$ 维 spin 配边群上的消没：$\Omega_n^{\rm Spin}(\mathcal L BG)\to{\mathbb Z}_2$，并且我们给出了满足此条件的所有紧致连通 Lie 群 $G$ 的完整列表。此外，我们应用配边技术证明，对于所有主 SU(2)-丛，$G_2$-瞬子的模空间存在模 $8$ Floer 分次。我们还证明，对于紧致 spin $8$-流形上满足 $c_2(P)-c_1(P)^2=0$ 的所有主 U$(m)$-丛 $P\to X$，存在典范定向。该证明基于与主 $E_8$-丛的有趣联系。这些典范定向在关于 Calabi-Yau $4$-流形上 Donaldson-Thomas 型不变量的诸多猜想中扮演重要角色，并解决了这些猜想中的一个表面悖论。