Yule的“无意义相关”之解：第二部分

1926年，G. Udny Yule考虑了如下问题：给定一对随机变量序列 $\{X_k,Y_k \}$ ($k=1,2, \ldots, n$)，令 $X_i = S_i$ 且 $Y_ i= S'_i$，其中 $S_i$ 和 $S'_i$ 是两个独立随机游走的偏和，经验相关系数 \begin{equation*} \rho_n = \frac{\sum_{i=1}^n S_i S^\prime_i - \frac{1}{n}(\sum_{i=1}^n S_i)(\sum_{i=1}^n S^\prime_i)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n S^2_i - \frac{1}{n}(\sum_{i=1}^n S_i)^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n (S^\prime_i)^2 - \frac{1}{n}(\sum_{i=1}^n S^\prime_i)^2}} \end{equation*} 的分布是什么？Yule凭经验观察到该统计量的分布高度分散且绝对值经常很大，这使他称之为“无意义相关”。这一意外发现促使他提出两个具体问题，每个问题都悬而未决九十余年：(i) 解析地求出当 $n \rightarrow \infty$ 时 $\rho_n$ 的方差；(ii) 解析地求出当 $n \rightarrow \infty$ 时 $\rho_n$ 的高阶矩与密度。2017年，Ernst、Shepp和Wyner考虑了两个独立Wiener过程 $W_1,W_2$ 的经验相关系数 \begin{equation*} \rho:= \frac{\int_0^1W_1(t)W_2(t) dt - \int_0^1W_1(t) dt \int_0^1 W_2(t) dt}{\sqrt{\int_0^1 W^2_1(t) dt - (\int_0^1W_1(t) dt)^2} \sqrt{\int_0^1 W^2_2(t) dt - (\int_0^1W_2(t) dt)^2}}\end{equation*}，即 $\rho_n$ 弱收敛的极限（由Phillips (1986)首次证明）。利用积分方程理论工具，Ernst等人(2017)通过显式计算出 $\rho$ 的二阶矩为0.240522，解决了问题(i)。本文始于Ernst等人(2017)停笔之处。我们成功解决问题(ii)，显式计算出 $\rho$ 的所有矩（最高至16阶）。