尤尔的“无意义相关”问题已解决！

本文解决了一个长期悬而未决的统计问题。该问题旨在从数学上确证尤尔（Yule）在1926年实证发现的“无意义相关”（\cite{Yule}）。我们通过解析地确定两个独立维纳过程 $W_1,W_2$ 的经验相关系数 $\theta$ 的二阶矩来实现这一点，其中 $\theta$ 定义为 \beqn \theta := \frac{\int_0^1W_1(t)W_2(t) dt - \int_0^1W_1(t) dt \int_0^1 W_2(t) dt}{\sqrt{\int_0^1 W^2_1(t) dt - \parens{\int_0^1W_1(t) dt}^2} \sqrt{\int_0^1 W^2_2(t) dt - \parens{\int_0^1W_2(t) dt}^2}}。 \eeqn 利用弗雷德霍姆积分方程理论的工具，我们成功计算了 $\theta$ 的二阶矩，得到 $\theta$ 的标准差接近 0.5。这种“无意义”相关，我们称之为“易变”相关，其易变性在于它的分布高度分散，且绝对值经常很大。它之所以产生，是因为每个维纳过程在时间上是“自相关”的。这是因为维纳过程是纯噪声的积分，因此它在不同时间点的取值是相关的。除了提供 $\theta$ 二阶矩的显式公式外，我们还给出了 $\theta$ 高阶矩的隐式公式。