量子 Heisenberg 流形上的 Yang-Mills 联络

我们研究量子 Heisenberg 流形 $D^c_{\mu\nu}$ 上 Yang-Mills 泛函 YM 的临界点与极小元，其中 Yang-Mills 泛函定义于 QHM 上有限生成投射模的所有相容线性联络之集合。一个既是 YM 的临界点又是极小元的相容线性联络称为 Yang-Mills 联络。本文研究具常曲率的 Yang-Mills 联络。我们关注 QHM 上以下各类模上的 Yang-Mills 联络：(i) 迹为 $2\mu$ 的 Abadie 模 $\Xi$ 及其子模；(ii) 迹为 $2\nu$ 的模 $\Xi^\prime$；(iii) 形如 $P E^c_{\mu\nu}\otimes \Xi$ 的张量积模，其中 $E^c_{\mu\nu}$ 与 $D^c_{\mu\nu}$ Morita 等价且 $P$ 是 $E^c_{\mu\nu}$ 中的一个投影。我们给出 YM 临界点与极小元的刻画，并通过具体例子提供一类具常曲率的新 Yang-Mills 联络。特别地，我们证明 $D^c_{\mu\nu}$ 上 $\Xi$ 上每个具常曲率的 Yang-Mills 联络 $\nabla$ 应有某种形式的曲率使得 $\Theta_\nabla(X,Y)=\Theta_\nabla(X,Z)=0$ 且 $\Theta(Y,Z)=\frac{\pi i}{\mu} Id_E$。我们也证明这些具常曲率的 Yang-Mills 联络不给出全局极小而仅给出局部极小，并给出另两个例子表明 YM 的临界点与极小元关键依赖于 QHM 及其上投射模的几何结构。此外，我们在 QHM 上迹为 $2\nu$ 的投射模 $\Xi^\prime$ 上构造 Grassmann 联络并计算其相应曲率，并构造 $P E^c_{\mu\nu}\otimes \Xi$ 上耦合常数为 $2\nu$ 的张量积联络，刻画该投射模上 YM 的临界点。