Wigner 测度与趋于 Aubry-Mather 测度的半经典极限

本文研究了定义在一维环面切丛上的 Wigner 测度的半经典极限的渐近行为。特别地，我们证明了在有效 Hamilton 量极小值以上的能级，Wigner 测度在切丛上收敛到 Mather 测度。我们考虑的 Wigner 测度 $\mu_h$ 关联于 $\psi_h$，即 Evans 量子作用量的一个特定临界解，由 $\psi_h=a_h\,e^{i\frac{u_h}h}$ 给出，其中 $a_h(x)=e^{\frac{v^*_h(x)-v_h(x)}{2h}}$，$u_h(x)=P\cdot x+\frac{v^*_h(x)+v_h(x)}{2}$，且 $v_h,v^*_h$ 满足方程 -\frac{h\, \Delta v_h}{2}+ 1/2 \, | P + D v_h \,|^2 + V &= \bar{H}_h(P)，\frac{h\, \Delta v_h^*}{2}+ 1/2 \, | P + D v_h^* \,|^2 + V &= \bar{H}_h(P)，其中常数 $\bar{H}_h(P)$ 是 $h$ 有效势，$x$ 在环面上。L. C. Evans 考虑了当 $h\to 0$ 时 $\mathbb{T}^n$ 上的极限测度 $|\psi_h|^2$（对任意 $n\geq 1$）。我们考虑了 $n=1$ 时相空间 $\mathbb{T}^n\times\mathbb{R}^n$ 上的极限测度，并且此外还得到了 $h\to 0$ 时函数 $v_h$ 与 $v^*_h$ 的严格渐近展开。