o-极小结构中可定义光滑函数环的 Whitehead 群

对于某些子群 $\operatorname{SK}_1(A)$，Whitney 群 $K_1(A)$ 同构于 $A^\times \times \operatorname{SK}_1(A)$，其中 $A$ 为交换环，$A^\times$ 表示 $A$ 中的单位集。考虑实闭域 $\mathcal R=(R,0,1,+,\cdot,\ldots)$ 的 o-极小扩张。令 $M$ 为仿射可定义 $C^r$ 流形，其中 $r$ 为非负整数。我们证明其同伦定理，且群 $\operatorname{SK}_1(C_{\text{df}}^r)$ 同构于 $\operatorname{SK}_1(C_{\text{df}}^0(M))$，其中 $C_{\text{df}}^r(M)$ 表示 $M$ 上可定义 $C^r$ 函数环。