Whitney 函数决定半解析集的实同伦型

在本文中，我们研究了与分析流形 $M$ 的半解析子集 $X$ 相关的 Whitney--de Rham 复形 $\Omega^\bullet_\text{W} (X)$。该复形是一个交换微分分级代数，定义为 $M$ 上光滑微分形式的 de Rham 复形模去由所有在 $X$ 上平坦的光滑函数生成的微分分级理想。我们利用 Hironaka 奇点解消定理证明了 $\Omega^\bullet_\text{W} (X)$ 的 Poincar\'e 引理成立，这意味着其上同调同构于 $X$ 的实上同调。此外，我们证明了该同构是由微分分级代数的拟同构诱导的。因此，它保持了乘积结构，因而是交换微分分级代数的同构。由此我们表明，当 $X$ 是单连通时，Whitney--de Rham 复形决定了 $X$ 的实同伦型。这允许人们进一步得出结论：微分分级代数 $\Omega^\bullet_\text{W} (X)$ 的 Hochschild 同调同构于自由环路空间 $\mathcal{L} X$ 的上同调。