对数项在何处？

对于具有无限低差异序列的 QMC 积分，通常引用的误差率为 $O(n^{-1}\log(n)^r)$，其中对于可扩展序列 $r=d$，否则 $r=d-1$。当使用 $n$ 个求值时，此类速率对 Hardy-Krause 变差为 1 的所有 $d$ 维被积函数一致成立。这些界中隐含的是，对于任意 QMC 点列，被积函数可被选择为依赖于 $n$。在本文中我们证明，当 $f$ 在 $n\to\infty$ 时保持固定，任何 $r<(d-1)/2$ 的速率均可成立。这是依照 Erich Novak 的建议，利用 Trojan 在 1980 年代的一些未发表结果（如 Traub、Wasilkowski 和 Wo\'zniakowski 的基于信息复杂性的专著中所给出）来实现的。证明通过应用 Roth 的技术与 Trojan 的定理完成。该证明是非构造性的，且我们不知有任何在 Hardy 和 Krause 意义下有界变差的被积函数，在使用如 Sobol 序列之类的数字序列时，对无穷多个 $n$ 其 QMC 误差超过 $(\log n)^{1+\epsilon}/n$。当 $d=2$ 时，针对旨在利用某些点集已知弱点的被积函数所做的实证搜索，未显示需要 $r>1$ 的证据。一个 $d=3$ 且 $n$ 高达 $2^{100}$ 的例子可能确实需要 $r>1$。