交换环的子群何时成为理想？

设 $R$ 为交换环。环 $(R, +)$ 的子群何时是 $R$ 的理想？我们研究了环 $\mathbb{Z}^{d}$ 和 $\prod_{i=1}^{d} \mathbb{Z}_{n_{i}}$ 上的这一问题。对于这些环的各类子群，我们得到了上述问题有肯定答案的充要条件。在 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m$ 的情形下，我们的结果对这类环的任意给定子群给出了该问题的可计算准则。我们还计算了从 $\mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m$ 随机选取的子群是理想的概率。