傅里叶乘子的范数何时支配其 $L^\infty$ 范数？

可以通过在 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 上使用正、逆傅里叶变换，或通过在 $S(\mathbb{R}^n)$ 上使用直接傅里叶变换并在 $S'(\mathbb{R}^n)$ 上使用逆变换，在巴拿赫函数空间上定义傅里叶乘子。在前一种情形中，假定傅里叶乘子属于 $L^\infty(\mathbb{R}^n)$，而在后一种情形中，该要求可能包含也可能不包含在定义中。我们给出了这些定义一致的充分条件，以及它们不同的例子。特别地，我们证明若巴拿赫函数空间 $X(\mathbb{R}^n)$ 满足某种弱加倍性质，则所有傅里叶乘子空间 $\mathcal{M}_{X(\mathbb{R}^n)}$ 连续嵌入 $L^\infty(\mathbb{R}^n)$ 且最佳嵌入常数为 1。对于加权勒贝格空间 $L^p(\mathbb{R}^n,w)$，弱加倍性质比 $w$ 为 Muckenhoupt 权的要求弱得多，我们的结果意味着对此类权有 $\|a\|_{L^\infty(\mathbb{R}^n)}\le\|a\|_{\mathcal{M}_{L^p(\mathbb{R}^n,w)}}$。该不等式推广了 \cite[Theorem~2.3]{BG98} 中 $n=1$ 时的不等式，后者归于 J.~Bourgain。我们表明尽管弱加倍性质并非必要，但它相当尖锐。它允许 $L^p(\mathbb{R}^n,w)$ 中的权 $w$ 以任意亚指数速率增长。另一方面，空间 $L^p(\mathbb{R},e^x)$ 具有大量无界傅里叶乘子。