最简单的线性斜坡是什么？

我们讨论一组被解释为哈密顿量本征值集合的确定性实数序列在何种条件下可展现出通常与随机矩阵谱相关的特征。一个关键诊断量是谱形因子（SFF）——SFF 中的线性斜坡常被视为随机矩阵行为的标志。基于各种显式例子，我们观察到确定性谱中出现线性和幂律斜坡的条件。我们注意到，具有线性斜坡的极简单谱为 $E_n \sim \log n$。尽管存在斜坡，这些序列并不展现常规的能级排斥，表明关于二者共存的固有认知需要修正。然而，当向谱中加入微小噪声修正时，它们会导致清晰的能级排斥以及（线性）斜坡。我们注意到对数谱除其线性斜坡外的显著特征：它们与黑洞拉伸视界的法向模密切相关，且其以 $s=\beta+it$ 为变量的配分函数是黎曼 zeta 函数 $\zeta(s)$。一个直接推论是谱形因子简单地为 $\sim |\zeta(it)|^2$。我们关于对数谱具有线性斜坡的观察，与关于 zeta 函数增长的 Lindelöf 假设密切相关。通过基础数值计算，我们核查到在双对数图上穿过 $|\zeta(it)|^2$ 的最佳拟合线斜率确实为 $1$，精确到小数点后第四位。我们还注意到，在有限整数 $N$ 处截断黎曼 zeta 函数和会导致本应永恒的斜坡终结于一个平台。