含 $n$ 个变量的随机整二次型具有整零点的概率是多少？
数论
2015-02-23 v1
摘要
我们证明了在 上含 个变量的各向同性二次型的密度是 的有理函数，且该有理函数与 无关，我们显式地确定了该有理函数。当实二次型在 个变量中按照随机矩阵理论的高斯正交系综(GOE)分布时，我们显式确定了随机此类实二次型为各向同性(即不定)的概率。由此，对于每个 ，当这些整二次型依据 GOE 分布选取时，我们确定了随机含 个变量的整二次型为各向同性(即具有 上的非平凡零点)的概率的精确表达式。特别地，我们找到了随机整四元二次型具有整零点的概率的精确表达式；数值上，该概率约为 。
引用
@article{arxiv.1502.05992,
title = {What is the probability that a random integral quadratic form in $n$ variables has an integral zero?},
author = {M. Bhargava and J. E. Cremona and T. A. Fisher and N. G. Jones and J. P. Keating},
journal= {arXiv preprint arXiv:1502.05992},
year = {2015}
}
备注
17 pages. This article supercedes arXiv:1311.5543