约束 Hamilton-Jacobi 方程的适定性

本文的目标是研究如下 Hamilton-Jacobi 方程 \begin{equation*} \begin{cases} u_t=H(Du)+R(x,I(t)) &\text{in }\mathbb{R}^n \times (0,\infty), \sup_{\mathbb{R}^n} u(\cdot,t)=0 &\text{on }[0,\infty), \end{cases} \end{equation*} 带有初始条件 $I(0)=0$，$u_0(x,0)=u_0(x)$ 于 $\mathbb{R}^n$。此处 $(u,I)$ 是一对未知量，且哈密顿量 $H$ 与反应项 $R$ 给定。$I(t)$ 是一个未知约束（拉格朗日乘子），迫使 $u$ 的上确界恒为零。当反应项 $R(x,I)$ 关于 $I$ 严格递减时，我们使用不动点论证在粘性解框架下构造解。我们也讨论唯一性与非唯一性。对于唯一性，需要对 $R(x,I)$ 的某种结构假设。我们还给出了当反应项关于 $I$ 非严格递减时具有无穷多解的例子。