自由概率论中的加权和与 Berry-Esseen 型估计

我们研究自由同分布自伴随机变量的加权和，其权重从单位球面上随机选取，并证明此类加权和的分布与 Wigner 半圆律之间的 Kolmogorov 距离以高概率为 $n^{-1/2}$ 阶。将 Kolmogorov 距离替换为一种较弱的伪度量，我们得到 $n^{-1}$ 阶的收敛速度，从而提供了经典概率论中 Klartag-Sodin 结果的自由类比。此外，我们表明我们的思想可推广到自由非同分布有界自伴随机变量之和的设定，从而得到自由中心极限定理中的一个新收敛速度。