一类非局部方程的加权估计与Fujita指数

我们研究$\mathbb{R}^n$中的非局部方程$\partial_tu=\int_{\mathbb{R}^n}J(x-y)(u(y,t)-u(x,t))dy+a(x,t)u^p$，其中$a$无界且$J$属于一个加权空间。基于尖锐Young不等式、正则变化系数指数级数的渐近行为以及辅助函数$\varGamma=(1+|x|^2/\eta)^{b/2}$（满足$-\varGamma/\eta\lesssim J\ast\varGamma-\varGamma\lesssim\varGamma/\eta$且$\eta^{-b_+/2}\lesssim\varGamma/\left\langle x\right\rangle^b\lesssim \eta^{-b_-/2}$）的性质，通过一种新方法建立了Green算子的关键加权$L^p$与插值估计。采用检验函数$\phi_R=\varGamma$（$\eta=R$）代替主特征函数研究了爆破行为。证明了Cauchy问题在加权$L^p$空间中的整体适定性。当$a\sim\left\langle x\right\rangle^\sigma$时，Fujita指数被证明为$1+(\sigma+2)/n$。我们的方法推广并统一了非局部扩散方程与伪抛物方程。