具有第三大可能亏格且 $q \equiv 0 \pmod 3$ 的极大函数域的 Weierstrass 半群与自同构群

在本文中，我们完成了 arXiv:2303.00376v1 [math.AG] 和 arXiv:2404.18808v1 [math.AG] 中开始的工作，对于 $q \equiv 0 \pmod 3$，明确确定了一个已知具有第三大亏格的 $\mathbb{F}_{q^2}$-极大函数域 $Z_3$ 在任意位的 Weierstrass 半群及其完整自同构群。事实上，$q \equiv 2 \pmod 3$ 和 $q \equiv 1 \pmod 3$ 的情况已分别在 arXiv:2303.00376v1 [math.AG] 和 arXiv:2404.18808v1 [math.AG] 中进行了分析。与另外两种情况类似，函数域 $Z_3$ 作为 Hermitian 函数域的 Galois 子域出现，其唯一性（关于其亏格的值）是一个众所周知的开放问题。了解 Weierstrass 半群可能为解决这一问题提供关键。令人惊讶的是，$Z_3$ 具有许多不同类型的 Weierstrass 半群，且其 Weierstrass 位的集合比其 $\mathbb{F}_{q^2}$-有理位的集合丰富得多。我们表明，在自同构方面不会出现类似的异常行为，即除了 $q=3$ 的情况外，$\mathrm{Aut}(Z_3)$ 恰好是从 Hermitian 函数域继承的自同构群。