有限域上函数域自同构群的渐近行为

本文旨在研究当亏格趋于无穷时函数域自同构群的渐近行为。受编码和密码学应用的启发，我们考虑有限域 $\mathbb{F}_q$ 上的函数域 $F$ 的自同构群 $\mbox{Aut}(F/\mathbb{F}_q)$ 中阿贝尔子群的最大尺寸，用亏格 ${g_F}$ 表示。尽管整个群 $\mbox{Aut}(F/\mathbb{F}_q)$ 的尺寸可达 $\Omega({g_F}^4)$，但对于 $g_F\ge 2$，自同构群 $\mbox{Aut}(F/\mathbb{F}_q)$ 的阿贝尔子群的最大尺寸 $m_F$ 的上界为 $4g_F+4$。本文通过定义 $M_q=\limsup_{{g_F}\rightarrow\infty}\frac{m_F \cdot \log_q m_F}{{g_F}}$ 来研究 $m_F$ 的渐近行为，其中 $F$ 遍历 $\mathbb{F}_q$ 上的所有函数域。我们证明，对于奇特征（或偶特征），$M_q$ 介于 $2$ 和 $3$（或 $4$）之间。这意味着 $m_F$ 的增长速度远慢于亏格的渐近增长。本文第二部分研究 $\mbox{Aut}(F/\mathbb{F}_q)$ 中阶与 $q$ 互素的子群的最大尺寸 $b_F$。Hurwitz界给出每个亏格 $g_F\ge 2$ 的函数域 $F/\mathbb{F}_q$ 的上界 $b_F\le 84(g_F-1)$。我们通过定义 ${B_q}=\limsup_{{g_F}\rightarrow\infty}\frac{b_F}{{g_F}}$ 来研究 $b_F$ 的渐近行为，其中 $F$ 遍历 $\mathbb{F}_q$ 上的所有函数域。尽管Hurwitz界表明 ${B_q}\le 84$，但文献中没有关于 $B_q$ 的下界。人们甚至不知道是否 ${B_q}=0$。本文首次通过显式构造一些函数域塔，证明 ${B_q}\ge 2/3$。