Wasserstein 空间中的弱拓扑与 Opial 性质及其在测地凸泛函梯度流与邻近点算法中的应用

本文讨论如何在可分 Hilbert 空间 $H$ 上具有有限二次矩的 Borel 概率测度之 Wasserstein 空间 $(\mathcal{P}_2(H),W_2)$ 中定义适当的弱拓扑概念。我们将证明该拓扑继承了 Hilbert 空间中通常弱拓扑的诸多特征，特别是测地凸闭集的弱闭性，以及刻画弱收敛序列的 Opial 性质。我们将此概念应用于 $\mathcal{P}_2(H)$ 中弱闭子集上非扩张映射不动点的逼近，以及达到其极小值的下半连续测地凸泛函 $\phi:\mathcal{P}_2(H)\to(-\infty,+\infty]$ 极小元的逼近。特别地，我们将证明 $\phi$ 的 Wasserstein 梯度流的每个解随着时间趋于 $+\infty$ 弱收敛于 $\phi$ 的一个极小元。类似地，若 $\phi$ 沿广义测地线也是凸的，则由邻近点算法生成的每个序列关于 $\mathcal{P}_2(H)$ 的弱拓扑收敛于 $\phi$ 的一个极小元。