复辛代数的弱镜像对称性

李代数 $\lie h$ 上的复辛结构是一个可积复结构 $J$ 和一个闭的非退化 $(2,0)$-形式。它由 $J$ 和该 $(2,0)$-形式的实部 $\Omega$ 决定。假设 $\lie h$ 是一个半直积 $\lie g\ltimes V$，并且 $\lie g$ 和 $V$ 关于 $\Omega$ 都是拉格朗日的，关于 $J$ 都是全实的。本笔记表明，$\lie g\ltimes V$ 是其自身的弱镜像对，因为控制 $\Omega$ 和 $J$ 扩展变形的相关微分格斯滕哈伯代数是同构的。还证明了半直积 $\lie g\ltimes V$ 上的 $(\Omega, J)$ 几何等价于李代数 $\lie g$ 上的无挠平坦辛联络的几何。通过进一步探索 $(J, \Omega)$ 与超辛代数的关系，我们发现了一个归纳过程，可以从 $4n$ 维复辛代数的数据构建一族 $8n$ 维的复辛代数。