图上的 Voronoi 博弈

\textit{Voronoi game} 是两名玩家之间进行的竞争性设施选址问题的几何模型。用户通常被建模为均匀分布在给定基础空间上的点。每名玩家在基础空间中选择一组点来放置其设施。每个用户由其最近的设施提供服务。设施的服务区由距离该设施比距离任何其他设施更近的用户集合组成。每名玩家的收益定义为其所有设施服务的用户数量。每名玩家的目标是最大化各自的收益。在本文中，我们考虑基础空间为由图建模的道路网络的两名玩家 {\it Voronoi game}。在此框架下，我们研究在玩家 1 任意放置 $m$ 个设施的情况下，寻找玩家 2 的 $k$ 个最优设施位置的问题。我们的主要结果是针对树网络上该问题的基于动态规划的多项式时间算法。另一方面，我们证明了该问题对于一般图是强 $\mathcal{NP}$-完全的。这证明了寻找玩家 2 的获胜策略是 $\mathcal{NP}$-完全的。因此，我们设计了一个 $1-\frac{1}{e}$ 因子的近似算法，其中 $e \approx 2.718$。