二维和三维离散 Voronoi 游戏与 $\epsilon$-网

关于 $n$ 个用户点集 $U$ 的单轮离散 Voronoi 游戏包含两名玩家：玩家 1 ($\mathcal{P}_1$) 和玩家 2 ($\mathcal{P}_2$)。首先，$\mathcal{P}_1$ 选择一组设施 $F_1$，随后 $\mathcal{P}_2$ 选择另一组与 $F_1$ 不相交的设施 $F_2$。$\mathcal{P}_2$ 的收益定义为 $U$ 中距离 $F_2$ 中某个设施比距离 $F_1$ 中所有设施都近的点的基数，$\mathcal{P}_1$ 的收益为 $U$ 中的用户数减去 $\mathcal{P}_2$ 的收益。两名玩家的目标都是最大化各自的收益。本文研究 $\mathcal{P}_1$ 放置 $k$ 个设施且 $\mathcal{P}_2$ 放置一个设施的单轮离散 Voronoi 游戏，记为 $VG(k,1)$。尽管该游戏的最优解可在多项式时间内找到，但该多项式的次数非常高。本文聚焦于以显著更短的运行时间获得 $VG(k,1)$ 的近似解。我们通过建立 $VG(k,1)$ 与弱 $\epsilon$-网之间的联系，为 $\mathcal{P}_1$ 的最优策略提供了一个常数因子近似解。据我们所知，这是首次从 $\epsilon$-网的角度研究 Voronoi 游戏。