小世界无标度网络上首次通过时间与首次返回时间的波动性分析

在本文中，我们研究小世界无标度网络（也称为伪分形无标度网（PSFW））上的随机游走，并使用方差和约化矩作为度量来分析首次通过时间（FPT）和首次返回时间（FRT）的波动性。注意FRT和FPT深受起始或目标位点的影响。我们不打算枚举所有可能的情况并分析它们。我们仅研究给定中心节点（即度最高的节点）的FRT的波动性，以及到给定中心节点的全局FPT（GFPT）的波动性，后者是根据马尔可夫链的平衡分布随机选择的任何可能起始位点到达给定中心节点的FPT的平均值。首先，我们基于PSFW的自相似结构精确计算了GFPT和FRT的概率生成函数。然后，我们利用生成函数作为工具计算了GFPT和FRT的概率分布、均值、方差和约化矩。结果表明：FRT的约化矩随网络阶 $N$ 增大而增长，并在 $N\rightarrow\infty$ 时趋于无穷；但对于GFPT的约化矩，对于大 $N$ 它几乎是常数（$\approx1.1605$）。因此，在大尺寸PSFW上，FRT具有巨大波动，由MFRT提供的估计不可靠，而GFPT的波动小得多，由其均值提供的估计更可靠。我们提出的方法也可用于分析其他具有自相似结构的网络（如 $(u, v)$ 花和递归无标度树）上FPT和FRT的波动性。