可见秩与具有局部性的码

我们提出一个基于我们称之为“可见秩”的组合代理来研究码字符号的局部恢复要求对线性码维数影响的框架。线性码的局部性约束由含星号（$\star$）和 $0$ 的矩阵 $H$（我们称为“模板”）规定，其行对应于局部奇偶校验（星号表示该校验的支持集）。$H$ 的可见秩是满足存在 $r \times r$ 子矩阵且含唯一广义星号对角线的最大 $r$。可见秩给出了 $H$ 的秩因而也是码的余维数的域无关组合下界。我们证明了一个秩-零化度型定理，将可见秩与称为“对称张成体”（symmetric spanoid）的关联构造的秩相联系，后者由 Dvir、Gopi、Gu 和 Wigderson~\cite{DGGW20} 引入。利用这一联系及适当模板的构造，我们回答了 \cite{DGGW20} 中提出的问题，并证明对称张成体秩无法改进当前已知的 $q$ 查询局部可校正码（LCC）在长度 $n$ 下维数的最佳上界 $\widetilde{O}(n^{(q-2)/(q-1)})$。我们还研究了码的 $t$-不相交修复组性质（$t$-DRGP），其中每个码字符号必须属于 $t$ 个不相交的校验方程。已知线性 $2$-DRGP 码必须具有余维数 $\Omega(\sqrt{n})$。我们展示存在对应于 $2$-DRGP 的模板，其可见秩可小至 $O(\log n)$。然而，我们证明任意 $2$-DRGP 模板的二次张量具有可见秩 $\Omega(n)$，从而恢复了 $2$-DRGP 的 $\Omega(\sqrt{n})$ 下界。而对于 $q$-LCC，当 $k\le n^{o(1)}$ 时其第 $k$ 次张量幂无法以多项式因子改进 $q$-LCC 维数的 $\widetilde{O}(n^{(q-2)/(q-1)})$ 上界。