抛物变分不等式系统的粘性解

在本文中，我们首先定义了涉及次微分算子的以下偏微分方程系统的粘性解概念：$$\{[c]{l}\dfrac{\partial u}{\partial t}(t,x)+\mathcal{L}_tu(t,x)+f(t,x,u(t,x))\in\partial\phi (u(t,x)),\quad t\in[0,T),x\in\mathbb{R}^d, u(T,x)=h(x),\quad x\in\mathbb{R}^d,$$ 其中$\partial\phi$是正常凸下半连续函数$\phi:\mathbb{R}^k\to (-\infty,+\infty]$的次微分算子，$\mathcal{L}_t$是由$\mathcal{L}_tv_i(x)={1/2}\operatorname {Tr}[\sigma(t,x)\sigma^*(t,x)\mathrm{D}^2v_i(x)]+< b(t,x),\nabla v_i(x)>$，$i\in\bar{1,k}$给出的二阶微分算子。我们证明了粘性解的唯一性，然后通过随机方法证明了上述抛物变分不等式的粘性解$u:[0,T]\times\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}^k$的存在性。