一类新型抛物变分不等式的随机方法

我们研究以下带有两个次微分算子的拟线性偏微分方程：$${\frac{\partial u}{\partial s}(s,x)} + (\mathcal{L}u)(s,x,u(s,x),(\nabla u(s,x))^\ast\sigma(s,x,u(s,x))) + f(s,x,u(s,x),(\nabla u(s,x))^\ast\sigma(s,x,u(s,x))) \in \partial\varphi(u(s,x)) + <\partial\psi(x),\nabla u(s,x)>, (s,x) \in[0,T]\times \operatorname{Dom}\psi, u(T,x) =g(x),\quad x\in \operatorname{Dom}\psi.$$ 其中对于$u\in C^{1,2}\big([0,T]\times \operatorname{Dom}\psi\big)$和$(s,x,y,z)\in [0,T]\times \operatorname{Dom}\psi\times \operatorname{Dom}\varphi\times\mathbb{R}^{1\times d}$，$$(\mathcal{L}u)(s,x,y,z) := \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n (\sigma\sigma^\ast)_{i,j}(s,x,y)\frac{\partial^2u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}(s,x) +\sum_{i=1}^n b_i(s,x,y,z)\frac{\partial u}{\partial x_i}(s,x).$$ 算子$\partial\psi$（相应地$\partial\varphi$）是凸下半连续函数$\psi:\mathbb{R}^{n}\to (-\infty,+\infty]$（相应地$\varphi:\mathbb{R}\to(-\infty,+\infty]$）的次微分。我们为此类偏微分方程定义了粘性解，并证明了当$\sigma$不依赖于$y$时粘性解的唯一性。为了证明粘性解的存在性，将发展一种Feynman-Kac型的随机表示公式。为此，我们研究了一个完全耦合的正向-倒向随机变分不等式。