垂直与水平 Sobolev 空间

设 $\alpha \geq 0$,$1 < p < \infty$,并令 $\mathbb{H}^{n}$ 为 Heisenberg 群。Folland 于 1975 年证明:若 $f \colon \mathbb{H}^{n} \to \mathbb{R}$ 是水平 Sobolev 空间 $S^{p}_{2\alpha}(\mathbb{H}^{n})$ 中的函数,则对任意检验函数 $\varphi$,$\varphi f$ 属于欧氏 Sobolev 空间 $S^{p}_{\alpha}(\mathbb{R}^{2n + 1})$。简言之,$S^{p}_{2\alpha}(\mathbb{H}^{n}) \subset S^{p}_{\alpha,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^{2n + 1})$。我们证明,若仅关注垂直方向的 Sobolev 正则性,则可省略局部化:水平 Sobolev 空间 $S_{2\alpha}^{p}(\mathbb{H}^{n})$ 连续包含于垂直 Sobolev 空间 $V^{p}_{\alpha}(\mathbb{H}^{n})$。我们寻求这一更尖锐结果的动机来自以下两个应用。首先,结合一个简短的附加论证,它蕴含 $\mathbb{H}^{n}$ 上的有界 Lipschitz 函数在 $\mathrm{BMO}(\mathbb{H}^{n})$ 中具有 $\tfrac{1}{2}$ 阶垂直导数。其次,它给出了 V. Lafforgue 与 A. Naor 的垂直对水平 Poincar\'e 不等式(非端点情形)的分数阶推广。