$\mathbb{Z}^n$ 上的扩展 Sobolev 尺度

类比 Mikhailets 与 Murach 在 $\mathbb{R}^n$ 上定义的“扩展 Sobolev 尺度”，我们在格点 $\mathbb{Z}^n$ 的设定下定义“扩展 Sobolev 尺度” $H^{\varphi}(\mathbb{Z}^n)$，其中 $\varphi$ 是在无穷远处 $RO$-缓变的函数。利用尺度 $H^{\varphi}(\mathbb{Z}^n)$，我们刻画了所有作为一对离散 Sobolev 空间 $[H^{(s_0)}(\mathbb{Z}^n), H^{(s_1)}(\mathbb{Z}^n)]$（其中 $s_0<s_1$）插值空间的 Hilbert 函数空间。我们使用该插值结果，在尺度 $H^{\varphi}(\mathbb{Z}^n)$ 的语境下获得（离散）伪微分算子（PDOs）的映射性质与 Fredholm 性质。此外，从一阶正定椭圆型（离散）PDO $A$ 出发，我们定义“扩展离散 $A$-尺度” $H^{\varphi}_{A}(\mathbb{Z}^n)$，并证明其在范数等价意义下与尺度 $H^{\varphi}(\mathbb{Z}^n)$ 重合。另外，我们建立了尺度 $H^{\varphi}(\mathbb{R}^n)$ 若干其他性质的 $\mathbb{Z}^n$-类比。