团簇张量幂的顶点等周性与独立集稳定性

$t$ 个顶点上的团簇的张量幂（记为 $K_t^n$）是顶点集为 $\{1, ..., t\}^n$ 的图，其中两个顶点 $x, y \in \{1, ..., t\}^n$ 当且仅当对所有 $i \in \{1, ..., n\}$ 都有 $x_i \neq y_i$ 时相连。设 $K_t^n$ 的子集 $S$ 的密度为 $\mu(S) := \frac{|S|}{t^n}$，并设集合 $S$ 的顶点边界为与 $S$ 的某些顶点相关联的顶点，可能包括 $S$ 中的点。我们研究了此类图上的两个类似问题。首先，我们研究顶点等周性问题。给定密度 $\nu \in [0, 1]$，密度为 $\nu$ 的 $K_t^n$ 子集的顶点边界的最小可能密度是多少？设 $\Phi_t(\nu)$ 为当 $n \to \infty$ 时这些最小密度的下确界。我们发现了一个递归关系，允许以多项式时间（相对于所需精度位数）计算 $\Phi_t(\nu)$。其次，我们研究给定密度为 $\mu(I) = \frac{1}{t}(1-\epsilon)$ 的独立集 $I \subseteq K_t^n$，它与密度为 $\frac{1}{t}$ 的最大尺寸独立集 $J$ 有多接近。我们表明，只要 $\epsilon < 1 - \frac{3}{t} + \frac{2}{t^2}$，这种偏差（由 $\mu(I \setminus J)$ 衡量）至多为 $4\epsilon^{\frac{\log t}{\log t - \log(t-1)}}$。这大幅改进了 Alon, Dinur, Friedgut 和 Sudakov (2004) 以及 Ghandehari 和 Hatami (2008) 的结果，后者的上界为 $O(\epsilon)$。我们还表明，假设 $n$ 趋于无穷大且 $\epsilon$ 趋于 0，指数 $\frac{\log t}{\log t - \log(t-1)}$ 是最优的。所用方法与 Ellis, Keller 和 Lifshitz (2016) 最近在 Kneser 图及其他背景下的工作相似。作者希望这些结果在近似硬度方面具有潜在应用，特别是在近似图着色和独立集问题中。