operad 的 Veronese 幂与纯同伦代数

我们将权分级 operad $\mathcal{P}$ 的第 m 个 Veronese 幂定义为其由权 m 的运算生成的子 operad $\mathcal{P}^{[m]}$。结果表明，与结合代数的 Veronese 幂不同，operad 的同调性质一般而言并不因该构造而改善。然而，在某些技术条件下，二次 Koszul operad 的 Veronese 幂在 Koszul 对偶理论背景下是有意义的。事实上，我们证明在许多重要情形中，operad $\mathcal{P}^{[m]}$ 通过 Koszul 对偶与描述仅有一个非平凡运算的强同伦代数的 operad 相关联。我们的理论对诸如 Lie $k$-代数与 Lie 三重系之类的对象有直接应用。在 Lie $k$-代数的情形中，我们还讨论了文献中频繁使用的看似类似的未分级构造。我们确立相应的 operad 不具备良好的同伦性质，并且它导致了一个非 Koszul 二次 operad 的非常简单的例子，对其 Ginzburg--Kapranov 幂级数检验是不确定的。