射影 Stiefel 流形上的向量场与 Browder-Dupont 不变量

我们为射影 Stiefel 流形 $X_{n,r}=O(n)/(O(n-r)\times \mathbb Z/2)$ 的跨度（span）建立了强下界，从而能够对跨度作出非常精确（在许多情况下为精确）的估计。该技术在很大程度上涉及向量丛的基本稳定性性质。然而，当 $n$ 为奇数时的 $X_{n,2}$ 情形存在额外困难，我们利用 Browder-Dupont 不变量部分地解决了这些困难。在此过程中，我们观察到 Sutherland 提出的对称提升未必对所有奇维闭流形都存在，因此 Browder-Dupont 不变量按其原有表述并非普遍有定义。我们将刻画那些使 Browder-Dupont 不变量在 $X_{n,2}$ 上良定义的 $n$。随后在此情形下，将该不变量作为更强结果的推论用于获得跨度的下界。