极大次数变分原理

设 $M$ 为光滑 $n$ 维流形，以 $k$ 维子流形 $B$ 为底纤维化为 $\pi:M \to B$，且 $\vartheta \in \Lambda^k (M)$；可考虑定义在丛 $\pi$ 的截面 $\phi$ 上的泛函 $\int_D \phi^* (\vartheta)$，其中 $D$ 为 $B$ 中的区域。我们证明当 $k = n-2$ 时，基于此泛函的变分原理可确定 $M$ 中唯一（相差一个光滑函数乘子）的非平凡向量场，即一个常微分方程组。反之，任意满足对某 $\vartheta \in \Lambda^{n-2} (M)$ 有 $i_X ({\rm d} \vartheta) = 0$ 的 $M$ 上向量场 $X$ 都容许如此的变分刻画。我们考察一般情形，以及特例 $M = P \times R$，其中某一变量（时间）具有特殊地位；在此情形下，我们的结果意味着相空间 $P$ 上的任意 Liouville（保体积）向量场都容许此处所考虑的此类变分原理。