Navier-Stokes 变分投影：流体力学作为二次规划问题

高斯最小约束原理将动力学问题转化为纯粹的最小化问题，其中约束力的总大小作为代价函数，在每个时刻进行最小化。牛顿方程是满足给定运动约束条件下，对高斯代价函数最小化的第一阶必要条件。最小压力梯度原理（PMPG）是不可压缩流体力学中相当于高斯原理的原理。PMPG 断言，不可压缩流动在一个时刻到另一个时刻通过最小化压力梯度力的 L2 范数来实现。满足在每个时刻最小化压力梯度代价的候选流场，必然满足 Navier-Stokes 方程。因此，PMPG 将不可压缩流体力学问题转化为纯粹的最小化框架，允许仅通过关注最小化代价来确定流场的演化。在本文中，我们展示了所得最小化问题是一个凸二次规划（QP）问题——非线性优化中最具计算可 tractability 的类别之一。更重要的是，利用分析力学工具和 Moore-Penrose 广义逆的理论，我们推导出了该 QP 问题的解析解。因此，我们提出了对在发散自由场空间上的离散化 Navier-Stokes 方程投影动力学的显式公式。 resulting ODE 可直接用于时间积分，无需在每个时间步求解压力的泊松方程。它通常是一个系数为常数的显式非线性 ODE。这种紧凑形式预计对包括稳定性分析和流体控制设计在内的仿真和理论研究都非常有价值。我们在 lid-driven cavity 问题上演示了该框架。