随机 Navier-Stokes 方程的数值分析

过去五十年来关于不可压缩 Navier--Stokes 方程数值离散化的研究进展，已导致可靠的数值逼近工具的形成：其中包括稳定的方法来正确处理不可压性约束、稳定的离散化用于处理对流支配问题、高效的时间（分割）方法，以及处理其非线性特征的方法。尽管这些工具可以成功应用于可靠地模拟更复杂的流体流动 PDE 模型，但其理解在随机流体模型的情况下需要根本性的修订，而这些模型正日益获得重要地位。本工作动机并概述了近几十年来获得的最优收敛数值方法，用于随机 Stokes 和 Navier--Stokes 方程。进一步地，我们通过计算示例说明了如果直接将其中一些方法应用于随机情形，某些方法会失败。事实上，我们解释了为什么这些确定性方法在处理随机问题时会表现亚最优，方法在于突出确定性方程与随机方程之间的关键分析差异——以及如何通过修改确定性方法来恢复其最优性能，如果它们正确地处理了随机问题的概率本质。除了方案的数值分析外，我们提出了一种通用基准，用于由不同类型噪声驱动的原型流体流动问题，以便以模拟方式比较新算法在复杂性、效率以及可能局限性方面的表现。该工作的动机是实现对新方案在准确性和复杂性方面的更好比较，并补充数据受限设置下的理论性能研究，以更现实的情形为主。