奇点特征的变分构造与奇点的传播
摘要
在光滑闭流形 上，我们引入关于任意半谈凸函数 与哈密顿函数 组合的最大斜率曲线新理论。通过梯度流理论中的最大斜率曲线概念，结合 [Cannarsa, P.; Cheng, W., 《Generalized characteristics and Lax-Oleinik operators: global theory》. Calc. Var. Partial Differential Equations 56 (2017), no. 5, 56:12] 中构建的内在奇点特征、[Cannarsa, P.; Yu, Y. 《Singular dynamics for semiconcave functions》. J. Eur. Math. Soc. 11 (2009), no. 5, 999--1024] 中发展的光滑近似方法，以及 [Khanin, K.; Sobolevski, A., 《On dynamics of Lagrangian trajectories for Hamilton-Jacobi equations》. Arch. Ration. Mech. Anal. 219 (2016), no. 2, 861--885] 中研究的破碎特征，证明了最大斜率曲线的存在性与稳定性，并探讨了若干新型弱 KAM 特征。我们进一步证明，任意组合 的最大斜率曲线恰为在处处具右导数的破碎特征。运用此理论，我们构建了严格奇点特征与破碎特征的全局变分构造。此外，我们证明了关于弱 KAM 解的全局特征沿 generalized characteristics 的 cut 点的传播结果，以及严格奇点特征沿特征传播的奇点点的传播结果。我们还获得严格奇点特征上的连续方程，阐明了奇点传播问题中质量输运的本质。
引用
@article{arxiv.2409.00961,
title = {Variational construction of singular characteristics and propagation of singularities},
author = {Piermarco Cannarsa and Wei Cheng and Jiahui Hong and Kaizhi Wang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2409.00961},
year = {2024}
}