层合凸包的上半连续性

设 $K \subseteq \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 为一紧集，$K^{rc}$ 为其秩一凸包，$L(K)$ 为其层合凸包。本文证明，映射 $K \to \overline{L(K)}$ 在 $\mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中的对角矩阵上不是上半连续的，这是 Kolář 留下的一个问题。随后给出一个由 5 个 $2 \times 2$ 对称矩阵构成的集合的例子，其层合凸包非紧。最后，给出另一个 5 点集 $K$ 的例子，其 $L(K)$ 连通、紧且严格小于 $K^{rc}$。