有限集的 $2+1$ 凸包

我们研究 $\mathbb{R}^3$ 中有限点集的 $\mathbb{R}^2\oplus\mathbb{R}$-分离凸包,如 KirchheimMullerSverak2003 所述。这种凸性概念——我们称之为 $2+1$ 凸性——当 $\mathbb{R}^3$ 被等同于某些矩阵子集时,对应于秩一凸凸性,或拟凸性。我们引入“$2+1$ 复形”,它推广了 $T_n$ 构造,定义了“集合的 $2+1$-复形凸包”,并证明它是 $2+1$ 凸包的一个内逼近。我们还基于秩凸性的局部性定理,通过迭代切掉“$D$-棱柱”来考虑 $2+1$ 凸性的外逼近。对许多有限集,该过程在有限步内达到一个“$2+1$ $K$-复形”,从而计算出 $2+1$ 凸包。我们给出有限集的例子,对这些例子该过程不能在有限步内达到 $2+1$ 凸包,但我们证明总存在一个由 $D$-棱柱构造的外逼近序列收敛到一个 $2+1$ $K$-复形。我们得出结论:$K^{rc}$ 总是一个“$2+1$ $K$-复形”,这具有有趣的结论。