上下数和平坦簇的初始单项式

设$I_n$为平面上放置$n$个点并连接每对点所形成的$\binom{n}{2}$条直线斜率的全体代数关系理想。在两种自然项序下，$I_n$的初始理想由对应于满足特定模式避免条件的排列的单项式生成。我们通过双射证明这些排列由上下（或欧拉）数枚举，从而得到了$I_n$初始理想在每个次数上的生成元数量的公式。