半直线薛定谔算子再生核的普适性极限与特征值的时钟行为

我们将Lubinsky、Levin、Simon和Totik近期的一些结果从紧支撑测度推广到半直线薛定谔算子的谱测度。特别地，我们为薛定谔算子定义了一个再生核$S_L$，并利用它来研究具有扰动周期势的半直线薛定谔算子在某个盒子中特征值的精细间距。我们证明，如果解$u(\xi, x)$在$x$方向上一致地被$e^{\epsilon x}$界住（平均意义下在$\xi$靠近谱时成立），且谱测度在谱内部的一个有界区间$I$上是正且绝对连续的，且$\xi_0\in I$，则在$I$上一致地有$$\frac{S_L(\xi_0 + a/L, \xi_0 + b/L)}{S_L(\xi_0, \xi_0)} \to \frac{\sin(\pi\rho(\xi_0)(a - b))}{\pi\rho(\xi_0)(a - b)},$$其中$\rho(\xi)d\xi$是态密度。我们推断，在大小为$L$的大盒子中，靠近$\xi_0$的特征值渐近地以$\frac{1}{L\rho}$为间距。我们改编了用于证明正交多项式类似结果的方法。