势场消失的离散一维随机薛定谔算子的普适边缘标度极限

考虑定义在$[0,n]\cap\mathbb{Z}$上带零边界条件的随机薛定谔算子$H_n$：$$(H_n\psi)_\ell=\psi_{\ell-1}+\psi_{\ell+1}+\sigma\frac{\mathfrak{a}(\ell)}{n^{\alpha}}\psi_\ell,\quad \ell=1,\cdots,n,\quad \quad \psi_{0}=\psi_{n+1}=0,$$其中$\sigma>0$为固定常数，$\mathfrak{a}(\ell)$, $\ell=1,\cdots,n$为独立同分布随机变量，均值为$0$、方差为$1$且快速衰减。体标度极限已在\cite{kritchevski2011scaling}中研究：在临界指数$\alpha= \frac{1}{2}$处，以$E\in(-2,2)\setminus\{0\}$为中心并按$n$重标度的$H_n$谱收敛到$\operatorname{Sch}_\tau$过程，且不依赖于$\mathfrak{a}(\ell)$的分布。我们研究边缘处的标度极限。我们表明在临界值$\alpha=\frac{3}{2}$处，若以2为中心谱并按$n^2$重标度，则谱收敛到依赖于$\sigma$但不依赖于$\mathfrak{a}(\ell)$分布的新随机过程。我们用两种方法描述此边缘标度极限。第一种使用矩方法，计算点过程的拉普拉斯变换，并用布朗桥的积分局部时间表示。然后我们表明重标度最大特征值对应于定义在$[0,1]$上带零边界条件的随机薛定谔算子$-\frac{d^2}{dx^2}+\sigma b_x'$的最低特征值，其中$b_x$为标准布朗运动。这使我们能计算重标度最大特征值的精确左尾和右尾，并与Tracy-Widom beta定律比较。我们还表明若将势$\mathfrak{a}(\ell)$按状态相关常数平移并取$\alpha=\frac{1}{2}$，则对特定选择的状态相关平移，重标度最大特征值收敛到Tracy-Widom beta分布。