有限维包含的酉正交基

我们研究 Pimsner 和 Popa 意义下包含 $(\mathcal{B}\subseteq \mathcal{A}, E)$ 的酉正交基，其中 $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ 是有限维 von Neumann 代数，$E$ 是从 $\mathcal{A}$ 映射到 $\mathcal{B}$ 的条件期望映射。结果表明，此类基的存在性要求相关的包含矩阵满足一个谱条件，迫使维数向量为 Perron-Frobenius 特征向量，且条件期望映射保持 Markov 迹。在这些条件下，如果任一代数是交换的或单的，则构造了显式的酉正交基。它们推广了复 Hadamard 矩阵、Weyl 酉基以及 Crann 等人最近的工作，这些分别对应于 $\mathcal{A}$ 为交换代数、单代数和一般多矩阵代数且 $\mathcal{B}$ 为复数代数的特殊情况。本文首次考虑了更一般的 $\mathcal{B}$。作为这些结果的应用，证明了如果 $(\mathcal{B}\subseteq \mathcal{A}, E)$ 承认一个酉正交基，则 Connes-St{\o}rmer 相对熵 $H(\mathcal{A}_1|\mathcal{A})$ 等于包含矩阵范数平方的对数，其中 $\mathcal{A}_1$ 表示该包含的 Jones 基本构造。作为进一步的应用，我们证明了一大类具有交换相对交换子的深度 2 子因子存在酉正交基。