对称算子真扩张的酉等价性与 Weyl 函数

设 $A$ 是 $\mathcal{H}$ 中稠定简单对称算子，$\Pi=\{\mathcal{H},\Gamma_0,\Gamma_1\}$ 为 $A^*$ 的边界三元组，$M(\cdot)$ 为相应的 Weyl 函数。已知 Weyl 函数 $M(\cdot)$ 唯一确定边界三元组 $\Pi$（特别是二元组 $\{A,A_0\}$，其中 $A_0:= A^*\lceil\ker\Gamma_0 (= A^*_0)$），精确到酉相似。同时，对应于算子对偶对边界三元组的 Weyl 函数仅能确定该三元组精确到弱相似。在本文中，我们考虑由 $A\subset A^*$ 生成的对称对偶对 $\{A,A\}$ 以及针对 $\{A,A\}$ 的特殊边界三元组 $\widetilde{\Pi}$。我们关注的是：若对应于 $\widetilde{\Pi}$ 的 Weyl 函数为 $\widetilde M(z)= K^*(B-M(z))^{-1} K$（其中 $B$ 是 $\mathcal{H}$ 中的某个非自伴有界算子），关于酉相似的结论是否仍然成立。我们指定了关于算子 $A_0$ 和 $A_B= A^*\lceil \ker(\Gamma_1-B\Gamma_0)$ 的一些条件，这些条件通过 Weyl 函数 $\widetilde M(\cdot)$ 唯一确定（精确到酉等价）二元组 $\{A,A_B\}$。此外，还表明在某些附加假设下，对偶对 $\{A,A\}$ 的边界三元组 $\Pi$ 的 Weyl 函数 $M_\Pi(\cdot)$ 唯一确定三元组 $\Pi$（精确到酉相似）。我们也得到了一些否定性结果，表明一般情况下 Weyl 函数 $\widetilde M(\cdot)$ 甚至不能精确到相似地确定算子 $A_B$。