Weyl 酉矩阵的普适性

Weyl 的酉矩阵引入于 Weyl 1927 年关于群论与量子力学的论文，是 $p\times p$ 酉矩阵，由元素为 $p$ 次单位根的对角矩阵与循环移位矩阵给出。我们记为 $\mathfrak u$ 和 $\mathfrak v$ 的 Weyl 酉矩阵满足 $\mathfrak u^p=\mathfrak v^p=1_p$（即 $p\times p$ 单位矩阵）以及交换关系 $\mathfrak u\mathfrak v=\zeta \mathfrak v\mathfrak u$，其中 $\zeta$ 是本原 $p$ 次单位根。我们证明 Weyl 酉矩阵在如下意义下是普适的：若 $u$ 和 $v$ 是任意 $d\times d$ 酉矩阵，使得 $u^p= v^p=1_d$ 且 $u v=\zeta vu$，则存在完全正线性映射 $\phi:\mathcal M_p(\mathbb C)\rightarrow\mathcal M_d(\mathbb C)$ 使得 $\phi(\mathfrak u)= u$ 且 $\phi(\mathfrak v)=v$。我们还进一步证明，任意两对满足 Weyl 交换关系的 $p$ 阶酉矩阵是完全序等价的。当 $p=2$ 时，Weyl 矩阵是量子力学中三个 Pauli 矩阵中的两个。近来已证明 $g$ 元组 Pauli-Weyl-Brauer 酉矩阵对所有 $g$ 元组反交换自伴酉矩阵是普适的；然而我们在此表明，对正整数 $p>2$ 类似结论不成立。最后，利用非交换凸性理论的新近思想，我们证明 Weyl 矩阵在其矩阵范围内是极值的。