类型 ${\widetilde{\mathbb{A}}}$ 簇代数的单结构性

Ibrahim Assem、Ralf Schiffler 和 Vasilisa Shramchenko 在《Cluster Automorphisms and Compatibility of Cluster Variables》中猜想每个簇代数是单结构性（unistructural），也就是说，簇变量的集合唯一地确定了簇代数结构。换言之，存在将簇变量集合分解为簇的唯一分解方式。Assem、Schiffler 和 Shramchenko 已证明该猜想对 Dynkin 型或秩 2 的代数成立。本文旨在证明它对类型 ${\widetilde{\mathbb{A}}}$ 的代数成立。我们利用平环的三角剖分以及簇的代数无关性，证明由平环（类型为 ${\widetilde{\mathbb{A}}}$）产生的代数具有单结构性。作为直接推论，我们还证明了 Assem、Schiffler 和 Shramchenko 关于类型 ${\widetilde{\mathbb{A}}}$ 代数的自同构猜想。