Gizatullin 曲面上 $\bf C^*$-作用与 $\bf C_+$-作用的唯一性

Gizatullin 曲面是定义在 $\bf C$ 上的正规仿射曲面 $V$，其可通过一个锯齿形结构（即一条由光滑有理曲线组成的线性链）进行完备化。本文探讨了此类曲面 $V$ 上 $\bf C^*$-作用与 $\bf A^1$-纤维化在自同构意义下的唯一性问题。后者纤维化与 $V$ 上的 $\bf C_+$-作用之间存在一一对应关系（考虑“速度变化”）。已知非 Gizatullin 曲面在底空间 $S$ 的同构意义下至多允许一个 $\bf A^1$-纤维化 $V\to S$。此外，若其上存在有效的 $\bf C^{*}$-作用，则该作用在共轭及 $\bf C^*$ 的逆映射 $t\mapsto t^{-1}$ 意义下是唯一的。显然，$\bf C^*$-作用的唯一性对于仿射环面曲面不成立；然而我们证明在此情况下，$\bf A^1$-纤维化的共轭类至多有两个。还存在另一类有趣的非环面 Gizatullin 曲面族，称为 Danilov-Gizatullin 曲面，其上通常存在多个 $\bf C^*$-作用和 $\bf A^1$-纤维化的共轭类。在本文中，我们获得了判断 Gizatullin 曲面的 $\bf A^1$-纤维化在 $V$ 与底空间 $S$ 的自同构下是否共轭的判据。我们还展示了一大类 Gizatullin $\bf C^{*}$-曲面的子类，其上 $\bf C^*$-作用本质上是唯一的，且在 $\bf A^1$ 上至多有两个 $\bf A^1$-纤维化的共轭类。