ad-不变度量的唯一性

我们考虑容许 ad-不变度量的李代数,并研究 ad-不变度量在自同构意义下的唯一性问题。这是低维情形下的一个常见特征,正如在已知维数 $\leq 7$ 的容许 ad-不变度量的幂零李代数分类中所观察到的那样。我们证明,复李代数 $\mathfrak{g}$ 上度量的唯一性等价于余切李代数 $T^*\mathfrak{g}$ 上 ad-不变度量的唯一性;在实数域上成立一个稍复杂的等价关系。这促使我们去研究使得 $T^*\mathfrak{g}$ 上的 ad-不变度量唯一的那类更广泛的李代数。我们证明度量的唯一性迫使该李代数为可解的,但反之不成立,我们通过构造具有一族不等价 ad-不变度量的可解李代数说明了这一点。我们给出了用 Nikolayevsky 导子以及本文引入的一个度量对应物表示的唯一性充分条件。此外,我们证明唯一性对不可约李代数总成立,这些不可约李代数或是维数 $\leq 6$ 的可解李代数,或是维数 $\leq 10$ 的实幂零李代数。