唯一 $C_{4}^{+}$-饱和图

若图 $G$ 不包含作为子图的图 $H$，但将 $G$ 中的任何新边添加后都会创建恰好一个 $H$ 的子图，则称 $G$ 为唯一 $H$-饱和图。$C_{4}^{+}$ 是由 $4$-cycle $C_{4}$ 加上一个弦和 $C_{3}^{*}$ 是由一个三角形外加一条pendant边的图。在本文中我们证明，非平凡唯一 $C_{4}^{+}$-饱和图 $G$ 的 girth 为 $3$ 或 $4$。进一步地，若 $G$ 的 girth 为 $4$，则其为具有特殊参数的强正则图。对于 $n>18k^{2}-24k+10$ 且 $k\geq2$ 的情况，存在于 $n$ 个顶点的唯一 $C_{4}^{+}$-饱和图中不包含 $k$ 个三角形。特别地，$C_{3}^{*}$ 是唯一一个包含一个三角形的非平凡唯一 $C_{4}^{+}$-饱和图，而包含两个、三个或四个三角形的唯一 $C_{4}^{+}$-饱和图不存在。