Lebesgue 空间的并集与 $A_1$ 控制函数

我们研究两个问题：一个函数何时属于 Lebesgue 空间的并集，以及一个函数何时具有 $A_1$ 控制函数？我们证明这两个问题是根本相关的。对于限制在固定立方体上的函数，我们证明以下几项等价：函数属于某个 $p>1$ 的 $L^p$ 空间；函数具有 $A_1$ 控制函数；对于任意 $p>1$，函数属于某个 $A_p$ 权重 $w$ 对应的 $L^p_w$ 空间。我们还考察了定义在 ${\mathbb R}^n$ 上的函数的情形，并给出了 $A_p$ 中权重 $w$ 对应的 $L^p_w$ 并集的特征刻画，以及函数在整个 ${\mathbb R}^n$ 上具有 $A_1$ 控制函数的条件。