亚线性 Morse 边界的均匀完美性、测地丰富性与刚性

Han 和 Liu 给出了对 Morse 边界均匀完美性的几何特征描述：Morse 边界是均匀完美的当且仅当该空间是 Morse 测地丰富的，当然等价于中心-穷尽。本文证明了类似的表述对于亚线性 Morse 边界 $\partial_{\kappa}X$ 也成立。此处 $\kappa$ 为固定的凹增长亚线性函数，$\partial_{\kappa}X$ 为 Qing-rafi 引入的边界，用于 CAT(0) 空间，并由 Qing-rafi-Tiozzo 扩展至 proper geodesic 空间。假设 $\partial_{\kappa}X$ 至少包含三个点，我们展示了 $\partial_{\kappa}X$ 的均匀完美性（针对基于固定基点的任何 $\kappa$--visual metric）等价于 $\kappa$--Morse 测地丰富性以及 $\kappa$--center--exhaustiveness。几何输入是 $\kappa$--Morse 测地的亚线性细三角论断，以及将 $\kappa$--比例误差在半径 $R$ 转换为 $\rho_\kappa$--比例误差的再正则化映射 $\rho_{\kappa}(t)=\int_0^t \frac{ds}{\kappa(s)}$。作为应用，我们获得了 $\kappa$--visual metric 在 $\partial_{\kappa}X$ 上的下 Assouad 维数（以及在双倍假设下，Hausdorff 维数）的定量下界，这些下界以均匀完美性常数表示。最后，对于满足 $\kappa$--center--exhaustive 条件的空间 $X$ 和 $Y$，并在 $\kappa$ 上满足轻微的额外增长条件，我们证明了一个在亚线性范畴内的刚性陈述：每个准同胚映射 $\partial_{\kappa}X\to\partial_{\kappa}Y$ 都由 $X\to Y$ 的亚线性 bilipschitz 同构引起。