Deligne 完备性定理的无穷推广

给定满足 $\kappa^{<\kappa}=\kappa$ 的正则基数 $\kappa$，我们研究一类具有足够点的拓扑斯，即 $\kappa$-可分拓扑斯。这些拓扑斯等价于具有 $\kappa$-小极限的位点上的层拓扑斯，该位点至多有 $\kappa$ 个对象和态射，其（基底）拓扑由至多 $\kappa$ 个覆盖族生成，并满足进一步的正合性性质 $T$。我们证明这些拓扑斯具有足够的 $\kappa$-点，即其逆像保持所有 $\kappa$-小极限的点。这推广了 Makkai 和 Reyes 的可分拓扑斯，后者是 $\kappa=\omega$ 且性质 $T$ 平凡满足时的特例。该结果本质上是我们称为 $\kappa$-几何的某种无穷逻辑的完备性定理，其中允许少于 $\kappa$ 个公式的合取以及对少于 $\kappa$ 个变量的存在量词量化。我们证明 $\kappa$-几何理论具有满足性质 $T$ 的 $\kappa$-分类拓扑斯，其泛性质是：在具有性质 $T$ 的 Grothendieck 拓扑斯中的理论模型对应于进入该拓扑斯的 $\kappa$-几何态射（其逆像保持所有 $\kappa$-小极限的几何态射）。此外，我们证明 $\kappa$-可分拓扑斯作为至多 $\kappa$ 个规范形式公理的 $\kappa$-几何理论的 $\kappa$-分类拓扑斯出现，且每个此类 $\kappa$-分类拓扑斯均为 $\kappa$-可分的。最后，我们考虑 $\kappa$ 为弱紧致基数的情形，研究 $\kappa$-连贯理论（至多 $\kappa$ 个公理）的 $\kappa$-分类拓扑斯，即仅允许少于 $\kappa$ 个公式的析取的理论，从而获得针对 $\kappa$-连贯拓扑斯的 Deligne 定理版本。